Lineare Algebra II (1103)

Prüfer: Prof. Dr. Kamps

26.09.2000, ca. 15 min

1.0

 
Vortrag über Diagonalisierbarkeit, Eigenwerte, Eigenvektoren:

• ausgehend vom Normalformproblem versucht man, möglichst einfache Matrizen zu erhalten, um z. B. Lineare Gleichsungssysteme einfach lösen zu können
• eine (quadratische) Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix M, bestehend aus Spalten v_i gibt, sodass M ^–1 * A * M = D ist, wobei D eine Diagonalmatrix ist, d. h. auf der Diagonale stehen l _i, sonst nur Nullen
• AM = MD, also A v_{i =} v_{il i,} die _{l i} heißen Eigenwerte
• Normalerweise schreibt man diese Gleichung in x, also Ax = l x, die x heißen Eigenvektoren, der Eigenraum ist die Menge aller x, die diese Gleichung erfüllen
• Über (A - l E) x = 0, also über det (A - l E) = 0 erhält man das Charakteristische Polynom
• NS des Charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte
• n verschiedene Eigenwerte, dann sind es die Diagonalelemente von D, hat man mehrfache Eigenwerte, muss die Dimension des Eigenraums mit der Ordnung der Eigenwerte übereinstimmen

• Zusammenhang zwischen dem Charakterist. Polynom und dem Minimalpolynom

• Was ist ein euklidischer Vektorraum
• Wie ist das Skalarprodukt definiert
• Erzählen Sie etwas über Determinanten -> explizite Formel zur Bestimmung von Determinanten von Matrizen
• Wie verändert sich die Determinante bei Umformungen der Matrix -> z.B. Vertauschen zweier Zeilen oder Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar
• Wieviele Summanden hat man mit dieser Formel -> n!
• Deshalb -> Entwicklung nach Laplace, Ad A * A = det A * E, Erklärung von Ad A, S_ik
• Exemplarische Entwicklung nach einer Zeile an einer Matrix (nur ansatzweise)
• Wie lautet die Cramersche Regel
• Wie ist der adjungierte Homomorphismus definiert
• Worauf muss man dabei achten -> dass V endlichdimensional ist, sonst kann es mit (L _V) ^–1 Probleme geben

Die Prüfung verlief in einer angenehmen Atmosphäre, Hr. Prof. Dr. Kamps ist als Prüfer auf jeden Fall zu empfehlen. Auf kleine Fehler macht Hr. Kamps sofort aufmerksam, bzw. fragt nach und wenn man sich selbst korrigiert, hat das offensichtlich keine negativen Auswirkungen auf die Benotung.
Als Vorbereitung sind das Glossar und die Studientagsunterlagen von Hrn. Schulte zu empfehlen.
Folgende Themen gab Hr. Kamps als Prüfungsthemen an: Theorie der Determinanten, Determinante einer Matrix, Laplace Entwicklung, Euklidische Vektorräume, Skalarprodukt, adjungierter Homomorphismus, Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, orthogonal, orthomormal, Eigenwerte, Eigenräume, Diagonalisierbarkeit, Charakteristisches Polynom.